PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Definisi: Permutasi adalah suatu susunan unsur-unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang

Seorang Bapak yang sedang menunggui istrinya dalam proses persalinan, telah menyiapkan nama ANI untuk calon bayi yang akan segera lahir. Beberapa saat kemudian, bidan memberi tahu bahwa istrinya akan melahirkan bayi kembar. Si Bapak berfikir, berapa bayi kembar yang dapat dinamai dengan menggunakan huruf-huruf pada kata ANI?

Si Bapak merancang dengan menggambarkan diagram pohon beriut :

Dari cerita tadi, si Bapak mengambil untuk huruf pertama dari tiga huruf yang tersedia. Selanjutnya mengambil satu huruf untuk huruf kedua dari dua huruf yang tersisa. Terakhir, mengambil satu huruf sisa untuk huruf ketiga

3

2

1

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur (huruf) berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur (huruf) yang boleh diulang adalah = 3 x 2 x 1 = 6 susunan.

Secara umum, penyusunan n unsur berbeda dalam suatu urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang disebut permutasi dari n unsur. Susunan urutan dapat dibentuk dari n unsur sebanyak :

n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . x 3 x 2 x 1 = n!

Banyaknya permutasi dari n unsur, diberi notasi P(n, n) diberikan oleh

P(n, n) = nx(n–1)x(n–2)x …  3 x 2 x 1

Berapa banyaknya nama yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang terdapat pada kata MIRA ? Banyaknya unsur yang tersedia sebanyak 5 dan susunan yang akan dibentuk terdiri atas 3 unsur, maka :

• Huruf pertama dapat diisi dari 5 huruf pilihan yang mungkin
• Huruf kedua dapat diisi dari 4 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama
• Huruf ketiga dapat diisi dari 3 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama dan kedua

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang adalah = 5 x (5-1) x (5-2) = 5 x 4 x 3 = 60 susunan. Secara umum, banyaknya permutasi r unsur dari n unsur dengan 0 < r < n adalah :

Buktikan bahwa P(n , n) = n!

Contoh : Hitunglah permutasi-permutasi berikut

1.

2.

3.

Contoh :

1.

2.

Contoh :

Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :

1. Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
2. Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?

Jawaban :

1. Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320
2. 5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720